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2019高考数学复习资料:转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解
一、数学解题中转化与化归思想的应用
数学活动的实质就是思维的转化过程,在解题中,要不断改变解题方向,从不同角度,不同的侧面去探讨问题的解法,寻求最佳方法。
在转化过程中,应遵循三个原则:
1、熟悉化原则,即将陌生的问题转化为熟悉的问题;
2、简单化原则,即将复杂问题转化为简单问题;
3、直观化原则,即将抽象总是具体化.
策略一:正向向逆向转化
一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一,解题时,如果从下面入手思维受阻,不妨从它的正面出发,逆向思维,往往会另有捷径.
例1 :四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不共面的取法共有__________种.
A、150 B、147 C、144 D、141
分析:本题正面入手,情况复杂,若从反面去考虑,先求四点共面的取法总数再用补集思想,就简单多了.
10个点中任取4个点取法有 种,其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有 种,同理其余3个面内也有 种,又,每条棱与相对棱中点共面也有6种,各棱中点4点共面的有3种, 不共面取法有 种,应选(D).
策略二:局部向整体的转化
从局部入手,按部就班地分析问题,是常用思维方法,但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物,不纠缠细节,从系统中去分析问题,不单打独斗.
例2:一个四面体所有棱长都是 ,四个顶点在同一球面上,则此球表面积为( )
A、 B、 C、 D、
分析:若利用正四面体外接球的性质,构造直角三角形去求解,过程冗长,容易出错,但把正四面体补形成正方体,那么正四面体,正方体的中心与其外接球的球心共一点,因为正四面体棱长为 ,所以正方体棱长为1,从而外接球半径为 ,应选(A).
策略三:未知向已知转化
又称类比转化,它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法,解题中,若能抓住题目中已知关键信息,锁定相似性,巧妙进行类比转换,答案就会应运而生.
例3:在等差数列 中,若 ,则有等式
( 成立,类比上述性质,在等比数列 中, ,则有等式_________成立.
分析:等差数列 中, ,必有 ,故有 类比等比数列 ,因为 ,故 成立.
二、逻辑划分思想
例题1、已知集合 A= ,B= ,若B A,求实数 a 取值的集合.
解 A= : 分两种情况讨论
(1)B=¢,此时a=0;
(2)B为一元集合,B= ,此时又分两种情况讨论 :
(i) B={-1},则 =-1,a=-1
(ii)B={1},则 =1, a=1.(二级分类)
综合上述 所求集合为 .
例题2、设函数f(x)=ax -2x+2,对于满足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0,求实数a的取值范围.
例题3、已知 ,试比较 的大小.
【分析】
于是可以知道解本题必须分类讨论,其划分点为 .
小结:分类讨论的一般步骤:
(1)明确讨论对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行讨论);
(2)确定分类标准,将P进行合理分类,标准统一、不重不漏,不越级讨论.;
(3)逐类讨论,获取阶段性结果.(化整为零,各个击破);
(4)归纳小结,综合得出结论.(主元求并,副元分类作答).
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