2019高考数学知识点:导数公式及推导过程

2019-05-02 08:35:00来源:网络

  2019高考进行备考阶段,新东方在线高考网小编整理了2019高考数学知识点,供同学们参考。点击下载>>高考复习资料

  新东方在线推出了48道题测出最适合你报考的大学专业 参考适合你填报的大学专业。 估分选大学,通过大数据,选出适合你报考的大学。

2019高考数学知识点:导数公式及推导过程

  导数公式有哪些

  1.y=c(c为常数) y'=0

  2.y=x^n y'=nx^(n-1)

  3.y=a^x y'=a^xlna

  y=e^x y'=e^x

  4.y=logax y'=logae/x

  y=lnx y'=1/x

  5.y=sinx y'=cosx

  6.y=cosx y'=-sinx

  7.y=tanx y'=1/cos^2x

  8.y=cotx y'=-1/sin^2x

  9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

  10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

  11.y=arctanx y'=1/1+x^2

  12.y=arccotx y'=-1/1+x^2

  2

  导数公式推导过程

  1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0。用导数的定义做也是一样的:y=c,△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。

  ⒉这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

  ⒊y=a^x,

  △y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1)

  △y/△x=a^x(a^△x-1)/△x

  如果直接令△x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道:△x=loga(1+β)。

  所以(a^△x-1)/△x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

  显然,当△x→0时,β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

  把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

  可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x。

  ⒋y=logax

  △y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x

  △y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x

  因为当△x→0时,△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞,所以lim△x→0loga(1+△x/x)^(x/△x)=logae,所以有

  lim△x→0△y/△x=logae/x。

  可以知道,当a=e时有y=lnx y'=1/x。

  这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

  所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。

  ⒌y=sinx

  △y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)

  △y/△x=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)/△x=cos(x+△x/2)sin(△x/2)/(△x/2)

  所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2)·lim△x→0sin(△x/2)/(△x/2)=cosx

  ⒍类似地,可以导出y=cosx y'=-sinx。

  ⒎y=tanx=sinx/cosx

  y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

  ⒏y=cotx=cosx/sinx

  y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

  ⒐y=arcsinx

  x=siny

  x'=cosy

  y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

  ⒑y=arccosx

  x=cosy

  x'=-siny

  y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

  ⒒y=arctanx

  x=tany

  x'=1/cos^2y

  y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2y=1/1+x^2

  ⒓y=arccotx

  x=coty

  x'=-1/sin^2y

  y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

  ⒔联立:

  ①(ln(u^v))'=(v * lnu)'

  ②(ln(u^v))'=ln'(u^v) * (u^v)'=(u^v)' / (u^v)

  另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

  ⒋y=u±v,y'=u'±v'

  ⒌y=uv,y=u'v+uv'


  新东方在线小编整理了历年高考试题及答案高考分数线高考作文高考满分作文2018高考录取分数线汇总2018高考录取投档线2018高考一分一段分段表供参考。

新东方在线高考地方站
北京天津河北山西内蒙古辽宁吉林黑龙江
上海江苏浙江安徽福建江西山东河南
湖北湖南重庆四川贵州云南西藏陕西
甘肃青海宁夏新疆广东广西海南

预约体验高中一对一精华课

扫码关注回复【中小学】免费领取

领取中小学全科资料和五年高考真题

更多资料
更多>>
更多内容

小初高全科知识合集+暑假预习资料包

扫码下方二维码领取

更多>>
  • 07月23日-07月31日

    高三数学暑假班

    梳理三角形、立体几何等内容,总结常用做题方法

    价格 : ¥880元

    购买
更多课程>>
更多>>
更多资料